Fungsi Weierstrass

Fungsi Weierstrass adalah fungsi yang terkenal karena fungsi ini adalah fungsi yang kontinyu dimanapun tetapi fungsi ini tidak dapat dideferensialkan dimanapun. Karena itulah fungsi ini menjadi fungsi aneh atau istimewa dalam matematika karena setiap fungsi yang kontinyu, seharusnya dapat dideferensialkan.

Ini salah satu contohnya:

Tidaklah sulit untuk menunjukkan bahwa deret diatas akan konvergen untuk setiap nilai x yang diberikan. Bahkan sesungguhnya deret ini adalah deret yang benar benar konvergen. Deret ini juga adalah deret fourier yang penting dan tipe yang menyenangkan dari deret.

Dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa deret ini kontinyu disetiap nilai x, tetapi tidak dapat dideferensialkan pada nilai x berapapun. Dibawah ini adalah grafik dari deret diatas dengan periode 2π.

Pada grafik diatas terlihat kurvanya sangat terjal atau nggeronjal dalam bahasa jawanya, atau tidak mulus. Oleh karena itulah fungsi ini tidak dapat dideferensialkan. Dan jika grafik fungsi ini diperbesar (zoom in), tetap saja grafiknya tidak akan pernah terlihat mulus atau linier sebagaimana grafik fungsi fungsi yang dapat dideferensialkan. Dibawah adalah perbesaran grafik diatas pada nilai x = 1

Klik untuk animasi

Mungkin pada frame terakhir, grafik terlihat agak mulus (smooth) tetapi ini disebabkan karena keterbatasan komputasi dari software yang digunakan untuk membuat animasi diatas. Secara teori, seseorang dapat memperbesar grafik diatas sampai berapapun dan grafik diatas tidak akan pernah terlihat mulus atau linier. Nggeronjal Forever!



Source: wikipedia

Tweet